Posteado por: tecnosimonperez | 19 noviembre 2009

Mecanismos

Engranajes cilíndricos

Introducción y definiciones

Los engranajes son sistemas mecánicos que transmiten el movimiento de rotación desde un eje hasta otro mediante el contacto sucesivo de pequeñas levas denominadas dientes. Los dientes de una rueda dentada pueden ser cilíndricos o helicoidales.

Los engranajes cilíndricos rectos poseen dientes paralelos al eje de rotación de la rueda y pueden transmitir potencia solamente entre ejes paralelos.

Los engranajes cilíndricos helicoidales poseen dientes inclinados respecto al eje de rotación de la rueda. Esto hace que puedan transmitir potencia entre ejes paralelos o que se cruzan en el espacio formando cualquier ángulo. En las figuras a continuación se observa la configuración de ejes paralelos y la configuración de ejes que se cruzan formando 90º.

El engranaje básico es una cadena cinemática compuesta por 3 eslabones: dos ruedas dentas y un eslabón binario. Las dos ruedas están engranadas una en la otra (lo que significa que sus dientes están permanentemente en contacto), ambas ruedas están articuladas en su centro al eslabón binario que habitualmente hace de barra fija.

Esta cadena cinemática que posee 3 eslabones (N = 3) cuenta además con 2 pares inferiores (las articulaciones) y 1 par superior (el contacto entre dientes, que es de rodadura y deslizamiento). Cuando la cadena cinemática se transforma en un mecanismo (haciendo que uno de los tres eslabones sea la barra fija), la fórmula de Grübler indica que el mecanismo posee un único grado de libertad: G = 3 · (3 – 1) – 2 · 2 – 1 = 6 – 4 – 1 = 1.

De las dos ruedas dentadas que componen el engranaje básico, la más pequeña recibe el nombre de piñón, mientras que la de mayor diámetro recibe el nombre genérico de rueda.

En la práctica, las ruedas dentadas siempre son montadas sobre ejes y es habitual que el par torsor se transmita desde el eje a la rueda (o viceversa) mediante una chaveta.

Las ruedas dentadas pueden ser interiores o exteriores, dando lugar a engranajes exteriores (formados por dos ruedas exteriores) y a engranajes interiores (formados por una rueda exterior y otra interior). Ambos casos pueden observarse en la figura siguiente.

Ley fundamental del engrane

Los engranajes deben diseñarse para que la relación de velocidades (velocidad angular de una rueda dividido por la velocidad angular de la otra) sea constante en todo momento ya que de lo contrario aparecerían unas vibraciones enormes que acortarían drásticamente la vida útil de la transmisión. Para que se cumpla esta condición, el perfil de los dientes no puede ser cualquiera, sino que debe ser cuidadosamente diseñado.

Cuando dos dientes están en contacto, el sistema es como se muestra en la figura siguiente. En ella, el eslabón 1 es la barra fija, el 2 es un diente y el 3 es el otro diente. El diente 2 posee un movimiento de rotación pura alrededor del punto O2, por lo que O2 es el CIR 1-2. De la misma forma, el diente 3 posee un movimiento de rotación pura alrededor del punto O3, por lo que O3 es el CIR 1-3. Según el Teorema de Kennedy (o de los tres centros) los CIR 1-2, 2-3 y 1-3 deben estar alineados; así, el CIR 2-3 está en la recta que pasa por los centros O2 y O3 (línea a trazos en la figura). Además, cuando dos sólidos planos están en contacto, no importa el tipo de movimiento relativo, el CIR relativo entre ambos está siempre en la recta normal a los perfiles de ambos sólidos en el punto de contacto (C). Así se sabe que el CIR 2-3 está en la normal a ambos dientes en el punto C y, por tanto, que este CIR está en P. A este punto P se le denomina punto de paso.

Por definición, al ser P el CIR 2-3, este punto posee la misma velocidad lineal si se considera perteneciente a 2 que si se considera perteneciente a 3. Como tanto 2 como 3 son sólidos en rotación pura, se puede escribir que la velocidad de P, en módulo, es:

con lo que la relación de transmisión es:

es decir, la relación de transmisión depende de la relación de distancias desde P a cada una de las articulaciones de 2 y de 3. En conclusión, para que dicha relación de velocidades (i) no varíe a medida que el contacto progresa, debe cumplirse que el punto de paso P (intersección de la normal en el punto de contacto y la recta de centros) no varíe de posición. A esta condición se le conoce como ley fundamental del engrane.

En el caso del ejemplo que nos ocupa, en la siguiente figura se muestran los dientes en contacto en dos posiciones sucesivas. En la posición 1 el contacto entre los dientes está en C1 y la normal que pasa por C1 corta a la recta de centros en P1 (punto de paso en la posición 1). En la posición 2 el contacto entre los dientes está en C2 y la normal que pasa por C2 corta a la recta de centros en P2. Se demuestra, así, que el punto de paso no permanece detenido para todas las posiciones sucesivas del contacto, por lo que la relación de velocidades no será constante. En el instante 1 la relación de velocidades tendrá un valor y en el instante 2 dicha relación tendrá otro valor diferente.

Cuando dos perfiles de dientes son tales que cumplen la ley fundamental del engrane, se dice que son perfiles conjugados. Y puede demostrarse que dado un perfil cualquiera de un diente, siempre puede obtenerse el perfil de otro diente tal que ambos sean perfiles conjugados (es decir, el conjugado de un perfil siempre existe, cualquiera que sea).

El perfil de evolvente

Dentro de los infinitos perfiles conjugados que se pueden emplear para la fabricación de ruedas dentadas, el más empleado por sus numerosas ventajas es el denominado perfil de evolvente.

La curva que describe este perfil es la que genera el extremo de una cuerda ideal (de espesor cero), inicialmente enrollada en un cilindro, al desenrollarse del cilindro. El perfil de evolvente depende , por tanto, del cilindro utilizado, el cual recibe el nombre de circunferencia de base. La curva y su generación pueden observarse en la siguiente animación.

La curva evolvente posee una propiedad de especial importancia: la cuerda que la genera es siempre normal a la curva. Dicho de otra forma, la normal a la curva evolvente en cualquier punto es precisamente la cuerda enrollada cuando el extremo está en ese punto.

Para comprender cómo se genera el perfil de evolvente entre dos ruedas dentadas que están engranadas, supóngase que se cuenta con dos rodillos y una cuerda enrollada en uno y que llega hasta el otro enrollándose en este último (figura siguiente). Cuando se hace girar uno de los rodillos, este enrolla la cuerda estirando de ella y la cuerda, a su vez, se desenrolla del otro rodillo haciéndolo girar. Si se sigue un punto T de la cuerda se observa que dicho punto sale de un rodillo y si dirige al otro rodillo. Para un observador situado en un sistema fijo Xu-Yu, el punto T traza una recta en su camino desde un rodillo hasta el otro. Sin embargo, para un observador que se mueve con el piñón (es decir, en el sistema Xp-Yp), el punto traza una evolvente (naranja). Y, finalmente, para un observador que se mueve con la rueda (es decir, en el sistema Xr-Yr), el punto traza otra evolvente distinta (azul). En la figura se observa cómo el sistema es cinemáticamente equivalente si se piensa en dos rodillos y una cuerda que si se piensa en los dos perfiles de evolvente que se empujan uno a otro. La relación de velocidades angulares es constante en todo momento. Además, también se observa que en el contacto entre los dos perfiles de evolvente existe, a veces, un gran deslizamiento.

Si el perfil de evolvente utilizado fuera tan largo como se muestra en la figura anterior, los dientes de una rueda chocarían con la otra rueda. Por este motivo, en la práctica se emplea un tramo más corto del perfil de evolvente (figura siguiente). Aun así, se puede observar cómo el contacto sigue igualmente la recta tangente a las circunferencias de base. Entre dos dientes, el contacto desaparece cuando se termina el tramo del perfil de evolvente, aunque en ese instante ya hay otro contacto que asegura la continuidad del movimiento.

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